Question

如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，且OP=2．以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M，N两点，且∠MPN=∠

Answer 1

（1）△OPN∽△PMN．

证明：在△OPN和△PMN中，

∠PON=∠MPN=60°，∠ONP=∠PNM，

∴△OPN∽△PMN；

（2）∵MN=ON-OM=y-x，

∵△OPN∽△PMN，

∴

PN

MN＝

ON

PN，

∴PN²=ON•MN=y（y-x）=y²-xy．

过P点作PD⊥OB，垂足为D．

在Rt△OPD中，

OD=OP•cos60°=2×

1

2=1，PD=POsin60°=

3，

∴DN=ON-OD=y-1．

在Rt△PND中，

PN²=PD²+DN²=（

3）²+（y-1）²=y²-2y+4，

∴y²-xy=y²-2y+4，

即y=

4

2−x；

（3）在△OPM中，OM边上的高PD为

3，

∴S=

1

2•OM•PD=

1

2•x•

3=

3

2x，

∵y＞0，

∴2-x＞0，即x＜2．

又∵x＞0，

∴x的取值范围是0＜x＜2．

∵S是x的正比例函数，且比例系数

3

2＞0，

∴0＜S＜

3

2×2，

即0＜S＜

3．