如图,已知P为∠AOB的边OA上的一点,且OP=2.以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M,N两点,且∠MPN=∠

1个回答

  • (1)△OPN∽△PMN.

    证明:在△OPN和△PMN中,

    ∠PON=∠MPN=60°,∠ONP=∠PNM,

    ∴△OPN∽△PMN;

    (2)∵MN=ON-OM=y-x,

    ∵△OPN∽△PMN,

    PN

    MN=

    ON

    PN,

    ∴PN2=ON•MN=y(y-x)=y2-xy.

    过P点作PD⊥OB,垂足为D.

    在Rt△OPD中,

    OD=OP•cos60°=2×

    1

    2=1,PD=POsin60°=

    3,

    ∴DN=ON-OD=y-1.

    在Rt△PND中,

    PN2=PD2+DN2=(

    3)2+(y-1)2=y2-2y+4,

    ∴y2-xy=y2-2y+4,

    即y=

    4

    2−x;

    (3)在△OPM中,OM边上的高PD为

    3,

    ∴S=

    1

    2•OM•PD=

    1

    2•x•

    3=

    3

    2x,

    ∵y>0,

    ∴2-x>0,即x<2.

    又∵x>0,

    ∴x的取值范围是0<x<2.

    ∵S是x的正比例函数,且比例系数

    3

    2>0,

    ∴0<S<

    3

    2×2,

    即0<S<

    3.