Question

已知函数f（x）=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1，试求a，b的值，并求出f（x）的极大值．

Answer 1

解题思路：根据函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，先求出函数中的参数a，b的值，再令导数等于0，求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值．再代入原函数求出极大值．

由已知，可得f（1）=1-3a+2b=-1①，

又f'（x）=3x²-6ax+2b，

∴f'（1）=3-6a+2b=0，②

由①，②，解得a＝

1

3，b＝−

1

2．

故函数的解析式为f（x）=x³-x²-x．

由此得f'（x）=3x²-2x-1，根据二次函数的性质，当x＜−

1

3或x＞1时，f'（x）＞0；

当−

1

3＜x＜1，f'（x）＜0．

∴函数f（x） 在(−∞，−

1

3)和(1，+∞)上单调递增，在(−

1

3，1)单调递减

∴当x＝−

1

3时，f（x）取得极大值，f(x)极大值＝

5

27

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查函数的导数与极值之间的关系，属于导数的应用，比较基础．