Question

已知数列{a n }的首项为a 1 =1,其前n项和为S n ,且对任意正整数n有n,a n ,S n 成等差数列.

Answer 1

(1)见解析 (2) a _n=2 ⁿ-1

(1)因为n,a _n,S _n成等差数列,所以2a _n=S _n+n,由当n≥2时,a _n=S _n-S _n-1,

所以2(S _n-S _n-1)=S _n+n,

即S _n=2S _n-1+n(n≥2),

所以S _n+n+2=2S _n-1+2n+2=2[S _n-1+(n-1)+2].

又S ₁+1+2=4≠0,

所以

=2,所以数列{S _n+n+2}成等比数列.

(2)由(1)知{S _n+n+2}是以S ₁+3=a ₁+3=4为首项,2为公比的等比数列,所以S _n+n+2=4×2 ^n-1=2 ⁿ⁺¹,又2a _n=n+S _n,所以2a _n+2=2 ⁿ⁺¹,所以a _n=2 ⁿ-1.