Question

（2014•房山区二模）如图，在三菱柱ABC-A1B1C1中，AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC．∠ABC

Answer 1

解题思路：（1）由已知条件推导出BF⊥AC，BF⊥AA₁，由此能证明平面BEF⊥平面AA₁C₁C．

（2）以B为原点，以BA为x轴，以BB₁为y轴，以BC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当AE=

1

2

A

A

1

=1时，二面角A₁-C₁E-B₁为60°．

（1）证明：∵在三菱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁B₁B为矩形，

平面AA₁B₁B⊥平面ABC．∠ABC=90°，

∴BF⊥AC，

又∵AA₁⊥平面ABC，BF⊂平面ABC，

∴BF⊥AA₁，

∵AC∩AA₁=A，∴BF⊥平面AA₁C₁C，

∵BF⊂平面BEF，

∴平面BEF⊥平面AA₁C₁C．

（2）以B为原点，以BA为x轴，以BB₁为y轴，以BC为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AB=BC=[1/2]AA₁=1，点F为AC的中点，点E为AA₁上一点

∴设AE=λAA₁时，二面角A₁-C₁E-B₁为60°．

A（1，0，0），A₁（1，2，0），则E（1，2λ，0），C₁（0，2，1），B₁（0，2，0），

∴

C1A1=（1，0，-1），

C1E=（1，2λ-2，-1），

C1B1=（0，0，-1），

设平面C₁A₁E的法向量

n=（x，y，z），

则

n•

C1A1=x-z=0

n•

点评：

本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角为60°时点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．