Question

讨论函数f（x）=loga[x+1/x−1]（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义予以证明．

Answer 1

解题思路：根据单调性的定义，设1＜x1＜x2，判断x1+1x1−1与x2+1x2−1的大小关系，讨论a即可判断出f（x1）与f（x2）的大小关系，这样即可判断出函数f（x）在（1，+∞）上的单调性．

设1＜x₁＜x₂，则：

x1+1

x1−1−

x2+1

x2−1=

(x1+1)(x2−1)−(x2+1)(x1−1)

(x1−1)(x2−1)=

2(x2−x1)

(x1−1)(x2−1)；

∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0；

∴

x1+1

x1−1＞

x2+1

x2−1；

∴若0＜a＜1，则loga

x1+1

x1−1＜loga

x2+1

x2−1，即f（x₁）＜f（x₂）；

∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；

若a＞1，则loga

x1+1

x1−1＞loga

x2+1

x2−1，即f（x₁）＞f（x₂）；

∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递减．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明．

考点点评： 考查单调性的定义，以及根据单调性的定义判断函数单调性的过程，对数函数的单调性．