Question

（2013•揭阳二模）数列{an}中，a1=3，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3

Answer 1

解题思路：（1）由递推式表示出a₂，a₃，由a₁，a₂，a₃成等比数列可得关于c的方程，解出即得c值，注意检验；

（2）利用累加法可求得a_n，注意检验n=1时是否满足a_n；

（1）a₁=3，a₂=3+c，a₃=3+3c，

∵a₁，a₂，a₃成等比数列，∴（3+c）²=3（3+3c），

解得c=0或c=3．

当c=0时，a₁=a₂=a₃，不符合题意舍去，故c=3．

（ 2）当n≥2时，由a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，

an−a1＝[1+2+…+(n−1)]c＝

n(n−1)

2can−a1＝[1+2+…+(n−1)]c＝

n(n−1)

2c．

又a₁=3，c=3，∴an＝3+

3

2n(n−1)＝

3

2(n2−n+2)(n＝2，3，…)．

当n=1时，上式也成立，

∴an＝

3

2(n2−n+2)(n∈N*)．

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题．