如果x∈(-[π/2],0)时总有k(x+[π/2])>cosx成立,则实数k的取值范围是(  )

1个回答

  • 解题思路:先设t=x+[π/2]∈(0,[π/2]),得到k>

    sin(x+

    π

    2

    )

    x+

    π

    2

    =[sint/t],设f(t)=[sint/t],利用导数,判断函数f(t)为减函数,再根据根据罗必达法则求得

    lim

    t→0

    sint

    t

    =1,问题得以解决.

    x∈(-[π/2],0)令t=x+[π/2]∈(0,[π/2]),

    ∴cosx=sin(x+[π/2])∈(0,1),

    ∵k(x+[π/2])>cosx,

    即k>

    sin(x+

    π

    2)

    x+

    π

    2=[sint/t],

    设f(t)=[sint/t],

    ∴f′(t)=[tcost−sint

    t2,

    令g(t)=tcost-sint,

    ∴g′(t)=cost-tsint-cost=-tsint,

    ∵t=x+

    π/2]∈(0,[π/2]),

    ∴g′(t)<0,

    ∴g(t)为减函数,

    ∴g(t)<g(0)=0,

    ∴f′(t)<0,

    ∴函数f(t)为减函数,

    ∴根据罗必达法则得对f(t)=[sint/t]分子求导为cosx,分母求导为1,

    ∴[cos0/1]=1,

    lim

    t→0

    sint

    t=1,

    ∴f(t)<f(0)=1,

    ∴k≥1,

    即k∈[1,+∞),

    故选:A.

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 本题主要考查了导数和函数的单调性的关系,以及参数的取值范围,关键是求出得limt→0sintt=1,属于难题.