解题思路:先设t=x+[π/2]∈(0,[π/2]),得到k>
sin(x+
π
2
)
x+
π
2
=[sint/t],设f(t)=[sint/t],利用导数,判断函数f(t)为减函数,再根据根据罗必达法则求得
lim
t→0
sint
t
=1,问题得以解决.
x∈(-[π/2],0)令t=x+[π/2]∈(0,[π/2]),
∴cosx=sin(x+[π/2])∈(0,1),
∵k(x+[π/2])>cosx,
即k>
sin(x+
π
2)
x+
π
2=[sint/t],
设f(t)=[sint/t],
∴f′(t)=[tcost−sint
t2,
令g(t)=tcost-sint,
∴g′(t)=cost-tsint-cost=-tsint,
∵t=x+
π/2]∈(0,[π/2]),
∴g′(t)<0,
∴g(t)为减函数,
∴g(t)<g(0)=0,
∴f′(t)<0,
∴函数f(t)为减函数,
∴根据罗必达法则得对f(t)=[sint/t]分子求导为cosx,分母求导为1,
∴[cos0/1]=1,
∴
lim
t→0
sint
t=1,
∴f(t)<f(0)=1,
∴k≥1,
即k∈[1,+∞),
故选:A.
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题主要考查了导数和函数的单调性的关系,以及参数的取值范围,关键是求出得limt→0sintt=1,属于难题.