Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,求证:方程f(x)=0.5[f(0)+f(1)]有两个不相等的实数根,且有一个

Answer 1

f(0)+f(1)

=c+(a+b+c)

=a+b+2c;

f(x)=0.5[f(0)+f(1)]即

ax^2+bx+c=0.5a+0.5b+c;

→ax^2+bx-0.5(a+b)=0;

其判别式△=b^2 -4a×[-0.5(a+b)]

=b^2 +(2a^2+2ab)

=(a+b)^2 +a^2

因为f(x)是二次函数,所以a≠0;

则a^2＞0；

则判别式△=(a+b)^2 +a^2＞0；

因此方程f(x)=0.5[f(0)+f(1)]有两个不相等的实数根；

令g(x)=ax^2+bx-0.5(a+b);

则:g(0)=-0.5(a+b);

g(1)=a+b-0.5(a+b)=0.5(a+b);

因为g(0)×g(1)=-0.25(a+b)^2≤0,

所以有一个根在区间【0,1】内

题目错了