如图所示，正四面体V—ABC的高VD的中点为O，V - 知识问答

如图所示，正四面体V—ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.

1个回答

（1）证明略（2）45°
(1) 设
=a,
=b,
=c,正四面体的棱长为1,
则
=
(a+b+c),
=
(b+c-5a),
=
(a+c-5b),
=
(a+b-5c)
∴
·
=
（b+c-5a）·（a+c-5b）
=
（18a·b-9|a|²）
=
（18×1×1·cos60°-9）=0.
∴
⊥
，∴AO⊥BO，
同理
⊥
，BO⊥CO，
∴AO、BO、CO两两垂直.
（2）
=
+
=-
（a+b+c）+
=
(-2a-2b+c).
∴|
|=
=
，
|
|=
=
，
·
=
（-2a-2b+c）·
（b+c-5a）=
，
∴cos〈
,
〉=
=
，
∵〈
,
〉∈(0,
),∴〈
,
〉=45°.

相关问题