Question

（文）已知点P在函数y=2ex的图象上，当P到直线y=2x的距离最短时，点P的坐标为 ___ ．

Answer 1

解题思路：将直线y=2x平移到与函数y=2e^x的图象相切时，切点到直线y=2x的距离最短，故关键是求出切点的坐标．由于切线与y=2x平行，所以令y′=2得到切点坐标横坐标，代入函数解析式得到纵坐标，即知切点到直线的距离即为点P到直线的最小距离．

因为y=2x的斜率为2，所以令y′=2e^x=2解得x=0，代入函数y=2e^x得y=2，

所以切点（0，2）到直线y=2x的距离为最小距离．

故答案为：（0，2）．

点评：

本题考点： 指数函数的图像与性质．

考点点评： 考查学生理解函数图象上和直线平行时切线的切点到直线的距离最短，会根据平行斜率相等求函数的切点，会利用点到直线的距离公式解决实际问题．