Question

双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的左右焦点分别为F1,F2,直线L过F2与左右两支分别交于P,Q两点,

Answer 1

由于F1,F2是双曲线的焦点,设P(x1,y1),Q(x2,y2),(y1>y2)设离心率为e,半焦距为c

于是PF1=e(x1+a^2/c)

PF2=e(x2+a^2/c)

由于△PQF1 为正三角形

所以PF1=PF2

所以x1=x2

所以P,Q互为关于x轴的对称点,故x1=x2=c

由于△PQF1为正三角形,故P(c ,c/根号三),带入双曲线得

c²/a²-c²/3b²=1 ,将b²=c²-a²、c²=a²e²一起带入得

e²-e²/3(e²-1)=1

解得e=(根号3+根号39)/6

即为所求