Question

已知f(0)=-1/2,并能使积分∫L[(e^(-x)+f(x)]ydx-f(x)dy与路径无关,求f(x).

Answer 1

Py=e^(-x)+f(x)

Qx=f'(x) 积分与路径无关,那么

f'(x)=e^(-x)+f(x)

这是一阶线性微分方程,由通解公式：

f(x)=e^(x)(C+∫e^(-2x)dx)

=Ce^(x)-(1/2)e^(-x)

由f(0)=-1/2,C=0

f(x)=-(1/2)e^(-x)