解题思路：（1）求导函数，利用当x=0时，函数f（x）取得极大值，即可求得实数m的值；
（2）令
h(x)＝f(x)−g(x)＝f(x)−
f(
x
1
)−f(
x
2
)
x
1
−
x
2
(x−
x
1
)−f(
x
1
)
，则
h′(x)＝f′(x)−
f(
x
1
)−f(
x
2
)
x
1
−
x
2
，根据函数f（x）在x∈（x1，x2）上可导，可得存在x0∈（x1，x2），使得
f′(
x
0
)＝
f(
x
1
)−f(
x
2
)
x
1
−
x
2
，从而
h′(x)＝f′(x)−f′(
x
0
)＝
1
x+1
−
1
x
0
+1
＝
x
0
−x
(x+1)(
x
0
+1)
，进而可得h（x）＞0；
（3）用数学归纳法证明，先证明当n=2时，结论成立；再证明假设当n=k（k≥2）时结论成立，利用归纳假设证明当n=k+1时，结论也成立．
（1）求导函数f′(x)＝
1
x+1+m．
∵当x=0时，函数f（x）取得极大值
∴f'（0）=0，得m=-1，此时f′(x)＝−
x
x+1．
当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
∴函数f（x）在x=0处取得极大值，故m=-1．…（3分）
（2）证明：令h(x)＝f(x)−g(x)＝f(x)−
f(x1)−f(x2)
x1−x2(x−x1)−f(x1)，…（4分）
则h′(x)＝f′(x)−
f(x1)−f(x2)
x1−x2．
∵函数f（x）在x∈（x1，x2）上可导，
∴存在x0∈（x1，x2），使得f′(x0)＝
f(x1)−f(x2)
x1−x2．
∵f′(x)＝
1
x+1−1，
∴h′(x)＝f′(x)−f′(x0)＝
1
x+1−
1
x0+1＝
x0−x
(x+1)(x0+1)
∵当x∈（x1，x0）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）＞h（x1）=0；
∵当x∈（x0，x2）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）＞h（x2）=0；
故对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）．…（8分）
（3）证明：用数学归纳法证明．
①当n=2时，∵λ1+λ2=1，且λ1＞0，λ2＞0，∴λ1x1+λ2x2∈（x1，x2），∴由（Ⅱ）得f（x）＞g（x），
即f(λ1x1+λ2x2)＞
f(x1)−f(x2)
x1−x2(λ1x1+λ2x2−x1)+f(x1)＝λ1f(x1)+λ2f(x2)，
∴当n=2时，结论成立．…（9分）
②假设当n=k（k≥2）时结论成立，即当λ1+λ2+…+λk=1时，f（λ1x1+λ2x2+…+λkxk）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λkf（xk）．
当n=k+1时，设正数λ1，λ2，…，λk+1满足λ1+λ2+…+λk+1=1，
令m=λ1+λ2+…+λk，μ
点评：
本题考点： 数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法证明不等式，解题的关键是利用函数的极值点处导数为0，利用数学归纳法的证题步骤进行证明，综合性强．