解题思路:(1)由于CG⊥OA,根据垂径定理可得出,弧CA=弧AE,那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA,在Rt△COG中,可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°,那么就能得出∠FDM=180°-∠CDE=120°
(2)在(1)中我们根据垂径定理得出OA是CE的垂直平分线,那么△CMG和△EMG全等,可得出∠CMA=∠EMG,也就可得出∠CMO=∠FMD,在(1)中已经证得∠AOC=∠EDC=60°,那么∠COM=∠MDF,因此两三角形就相似.
(3)可按(2)的方法得出∠DMF=∠CMO,关键是再找出一组对应角相等,还是用垂径定理来求,根据垂径定理我们可得出弧AC=弧AE,那么∠AOC=∠EDC,根据等角的余角相等即可得出∠COM=∠FDM,由此可证出两三角形相似.
(1) ∵AB为直径,CE⊥AB
∴
AC=
AE,CG=EG
在Rt△COG中,
∵OC=OA,OG=[1/2]OA,
∵OG=[1/2]OC,
∴∠OCG=30°,
∴∠COA=60°,
又∵∠CDE的度数=[1/2]
CAE的度数=
AC的度数=∠COA的度数=60°
∴∠FDM=180°-∠CDE=120°.
(2)证明:∵∠COM=180°-∠COA=120°,
∴∠COM=∠FDM
在Rt△CGM和Rt△EGM中,
GM=GM
∠CGM=∠EGM
CG=EG
∴Rt△CGM≌Rt△EGM(SAS)
∴∠GMC=∠GME
又∵∠DMF=∠GME,
∴△FDM∽△COM.
(3) 结论仍成立.
∵∠EDC的度数=[1/2]
CAE的度数=
CA的度数=∠COA的度数,
∴∠FDM=180°-∠COA=∠COM
∵AB为直径,
∴CE⊥AB,
在Rt△CGM和Rt△EGM中,
GM=GM
∠CGM=∠EGM
CG=EG
∴Rt△CGM≌Rt△EGM(SAS)
∴∠GMC=∠GME
∴△FDM∽△COM.
点评:
本题考点: 圆周角定理;直角三角形全等的判定;垂径定理;相似三角形的判定.
考点点评: 本题主要考查了圆周角定理,垂径定理,全等三角形和相似三角形的判定及性质等知识点,根据垂径定理得出角相等是解题的关键.