已知tanα,tanβ是方程x2-5x+6=0的两个实根根,求:2sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)

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  • 解题思路:由韦达定理可得到tanα+tanβ及tanα•tanβ的值,进而可以求出tan(α+β)的值,再将所求值的三角函数式用tan(α+β)表示便可知其值.

    (法一)把原式的分母添“1”,并作1=sin2(α+β)+cos2(α+β)的代换,进而求值

    (法二)tan(α+β)的值可求α+β,然后代入所求的式子中可求.

    解法一:由韦达定理得tanα+tanβ=5,tanα•tanβ=6,

    所以tan(α+β)=

    tanα+tanβ

    1−tanα•tanβ=

    5

    1−6=−1.

    原式=

    2sin2(α+β)−3sin(α+β)cos(α+β)+cos2(α+β)

    sin2(α+β)+cos2(α+β)

    =

    2tan2(α+β)−3tan(α+β)+1

    tan2(α+β)+1=

    2×1−3×(−1)+1

    1+1=3

    解法二:由韦达定理得tanα+tanβ=5,tanα•tanβ=6,

    所以tan(α+β)=

    tanα+tanβ

    1−tanα•tanβ=

    5

    1−6=−1.于是有α+β=kπ+

    3

    4π(k∈Z),原式=2sin2(kπ+

    3

    4π)−

    3

    2sin(2kπ+

    3

    2π)+cos2(kπ+

    3

    4π)=1+

    3

    2+

    1

    2=3

    点评:

    本题考点: 同角三角函数基本关系的运用;一元二次方程的根的分布与系数的关系;两角和与差的正切函数.

    考点点评: 本题考查了方程的根与系数的关系,两角和的正切公式,三角函数的同角平方关系在化简中的技巧:1=sin2θ+cos2θ的应用,特殊角的三角函数值.