（1）
由题意,AM=2,AB=4√2,AN=2√2
DM=t,EN=√2t
故AD=2+t
AE=2√2+√2t
故AE=√2AD
（2）
∵M、N分别是AC、AB的中点
∴MN//BC
∴∠AMN=90°
而AE/AD=AN/AM=√2
∴△AMN∽△ADE
∴∠ADE=∠AMN=90°,四边形DEBC是直角梯形,DC为高
∴DE//MN//BC
∴∠EFB=∠DEF=45°=∠B
∴∠FEB=90°
△FEB是等腰直角三角形
AE=2√2+√2t,得EB=AB-AE=4√2-(2√2+√2t)=2√2-√2t=EF
S△EBF=EB·EF/2=(2√2-√2t)²/2=(2-t)²
由△AMN∽△ADE,得
MN/DE=AM/AD
又MN=BC/2=2
得：DE=MN·AD/AM=AD=2+t
而DC=4-(t+2)=2-t
∴S梯形DEBC=(DE+BC)·DC/2=(2+t+4)(2-t)/2=-t²/2-2t+6
∴y=S梯形DEBC-S△EBF=-t²/2-2t+6-(2-t)²=-3t²/2+2t+2
(3)
S△ABC=4·4·(1/2)=8
令y=S△ABC/3=8/3
即-3t²/2+2t+2=8/3
解得：
t=2/3
故当t=2/3时,结论成立
(4)
分两种情况
①∠DEF为等腰三角形的底角
此时,△DEF为等腰直角三角形
若∠EDF是直角,此时F与C点重合,D点与M点重合,E与N重合
显然此时t=0
若∠DFE是直角
此时,∠EDF=45°=∠DFC
CF=CD=2-t
而CF=BC-BF=4-√2·BE=4-√2(2√2-√2t)=2t
故2t=2-t
t=2/3
②∠DEF为等腰三角形的顶角
则有DE=EF=EB
EB=AB-AE=4√2-(2√2+√2t)=2√2-√2t
即2+t=2√2-√2t
解得：t=4-2√2
所以,当t=0,2/3,4-2√2时,△DEF为等腰三角形