Question

已知函数f（x）=logax（a＞0且a≠1），若数列：2，f（a1），f（a2），…，f(an)，2n+4(n∈N*)

Answer 1

解题思路：（1）利用数列：2，f（a₁），f（a₂），…，

f(

a

n

)，2n+4(n∈

N

*

)

成等差数列，推出数列的公差，求出f（a_n），利用对数关系，求出数列{a_n}的通项a_n；

（2）求出数列的前n项和，利用若0＜a＜1，直接求解

lim

n→∞

S

n

；

（3）利用a=2，求出b_n=a_n•f（a_n）的表达式，利用对任意

n∈

N

*

，都有

b

n

＞

f

−1

(t)

，得到2⁶＞2^t，然后求实数t的取值范围．

（1）2n+4=2+（n+2-1）d，

∴d=2，

∴f（a_n）=2+（n+1-1）•2=2n+2，

∴an＝a2n+2．

（2）因为an＝a2n+2，数列是等比数列，首项为a1＝a4，公比为a²，

所以Sn＝

a4(1−a2n)

1−a2，

所以

lim

n→∞Sn=

lim

n→∞

a4(1−a2n)

1−a2=

a4

1−a2．

（3）由已知与（2）可得：

bn＝an•f(an)＝(2n+2)a2n+2＝(2n+2)•22n+2＝(n+1)•22n+3．

bn+1

bn＝

n+2

n+1•4＞1，

∴b_n+1＞b_n．

∴{b_n}为递增数列

∴b_n中最小项为b1＝2•25＝26，f−1(t)＝2t，

∴2⁶＞2^t，

∴t＜6．

点评：

本题考点： 数列的极限；等差数列的性质；数列与函数的综合．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限，数列的基本性质的应用，考查转化思想，计算能力．