已知
和
相交于A、B两点，过A点作
切线交
于点E，连接EB并延长交
于点C，直线CA交
于点D，
（1）当点D与点A不重合时（如图1），证明：ED 2=EB·EC;
（2）当点D与点A重合时（如图2），若BC=2，BE=6，求
的直径长.
（1）证明详见解析；(2)
试题分析：（1）连接 AB ，在 EA 的延长线上取点 F ，由弦切角定理可得∠ FAC ＝∠ ABC ，而∠ FAC ＝∠ DAE ，（对顶角）证得∠ ABC ＝∠ DAE ,然后内接四边形的性质证得∠ ABC ＝∠ ADE ,即得∠ DAE ＝∠ ADE .所以 EA ＝ ED ,由切割线定理可得
，即
.
(2)直线 CA 与⊙ O 2只有一个公共点，所以直线 CA 与⊙ O 2相切，由弦切角定理知：
然后证明
，即 AC 与 AE 分别为⊙ O 1和⊙ O 2的直径．最后根据切割线定理证得AE的长.
试题解析：(1)连接 AB ，在 EA 的延长线上取点 F ，如图①所示．
∵ AE 是⊙ O 1的切线，切点为 A ，
∴∠ FAC ＝∠ ABC, .∵∠ FAC ＝∠ DAE ，
∴∠ ABC ＝∠ DAE ,∵∠ ABC 是⊙ O 2内接四边形 ABED 的外角，
∴∠ ABC ＝∠ ADE ,∴∠ DAE ＝∠ ADE .∴ EA ＝ ED ,∵
,∴
(2)当点 D 与点 A 重合时，直线 CA 与⊙ O 2只有一个公共点，
所以直线 CA 与⊙ O 2相切．如图②所示，由弦切角定理知：
∴ AC 与 AE 分别为⊙ O 1和⊙ O 2的直径． 8分
∴由切割线定理知： EA 2＝ BE · CE ，而 CB ＝2， BE ＝6，CE=8
∴ EA 2＝6×8＝48， AE ＝
.故⊙ O 2的直径为
. 10分