Question

已知椭圆E： x 2 4 +y 2 =1的左、右顶点分别为A、B，圆x 2 +y 2 =4上有一动点P，P在x轴上方，C

Answer 1

（Ⅰ）设D（x ₀，y ₀），

∵椭圆E：

x 2

4 +y ²=1的左、右顶点分别为A（-2，0）、B（2，0），

C（1，0），∠ADC=90°，

∴

AD •

AC =（x ₀+2，y ₀）•（x ₀-1，y ₀）=（x ₀+2）（x ₀-1）+y ₀ ²=0，

联立

( x 0 +2)( x 0 -1)+ y 0 2 =0

x 0 2 +4 y 0 2 =4 ，

解得

x 0 =

2

3

y 0 =

2

2

3 或

x 0 =-2

y 0 =0 （舍），

∴ S △ADC =

1

2 ×3×

2

2

3 =

2 ，

∴△ADC的面积S为

2 ．

（Ⅱ）设P（x ₁，y ₁），D（x ₂，y ₂），∵P，Q分别在圆与椭圆上，

∴ x 1 2 + y 1 2 =4，

x 2 2

4 + y 2 2 =1 ，

∵A（-2，0），P（x ₁，y ₁），D（x ₂，y ₂）三点共线，

则有

y 1

x 1 +2 =

y 2

x 2 +2 ．

∵ k 1 =

y 1

x 1 -2 ， k 2 =

y 2

x 2 -1 ，又k ₁=λk ₂，即

y 1

x 1 -2 =λ•

y 2

x 2 -1 ，

∴

y 1

x 1 -2 •

y 1

x 1 +2 = λ•

y 2

x 2 -1 •

y 2

x 2 +2 ，即

y 1 2

x 1 2 -4 =λ•

y 2 2

( x 2 -1)( x 2 +2) ，

又 y 1 2 =4- x 1 2 ， y 2 2 =1-

x 2 2

4 ，代入得-1= λ•

1-

x 2 2

4

( x 2 -1)( x 2 +2) ，

即 λ=

4(1- x 2 )

2- x 2 =4（1-

1

2- x 2 ），

∵x ₂∈（-2，2），∴λ＜3，又∵λ≠0，

∴λ∈（-∞，0）∪（0，3）．