Question

已知函数f（x）= x 2 +c ax+b 为奇函数，f（1）＜f（3），

Answer 1

（1）∵f（x）是奇函数，

∴f（-x）=-f（x）对定义域内的一切x都成立，即b=0．

从而f（x）=

1

a （x+

c

x ）．

又∵

f(2)≥0

f(-2)≥0 ，即

f(2)≥0

-f(2)≥0

∴f（2）=0，解之，得c=-4．

再由f（1）＜f（3），得

a＞0

c＜3 或

a＜0

c＞3 从而a＞0．

此时f（x）=

1

a （x-

4

x ）

在[2，4]上是增函数．

注意到f（2）=0，则必有f（4）=

3

2 ，

∴

1

a （4-

4

4 ）=

3

2 ，即a=2．

综上可知，a=2，b=0，c=-4．

（2）由（1），得f（x）=

1

2 （x-

4

x ），

该函数在（-∞，0）以及（0，+∞）上均为增函数．

又∵-3≤-2+sinθ≤-1，

∴f（-2+sinθ）的值域为 [-

5

6 ，

3

2 ] ．

符合题设的实数m应满足

3

2 -m ²＞

3

2 ，即m ²＜0，

故符合题设的实数m不存在．