如何有效地确定递归公式(要求效率不能太低)

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  • 1 引言

    递归程序处理的问题可以分成两类:第一类是数学上的递归函数,要求算得一个

    函数值,例如阶乘函数和Fibonacci函数;第二类问题具有递归特征,目的可能是求

    出满足某种条件的操作序列,例如Hanoi塔和八皇后问题.第一类问题的程序设计是

    简单的、机械的,而第二类问题则不然,由于涉及面广,没有统一的规则可循,所以

    编程过程往往比较复杂,而且编得的程序也不大好理解.究其原因在于,第一类问题

    已经有了现成的函数公式,第二类则没有.如果我们对于第二类问题也能写出它的递

    归公式,那么编码过程会大大简化,而且还可以改善程序的可读性.本文将借助两个

    程序实例讨论这种方法.

    2 公式化方法

    程序设计可以分成两个阶段:逻辑阶段和实现阶段.逻辑阶段要确定算法,不必

    考虑编程语言和实现环境.通常算法可以用自然语言、流程图、NS图等工具来表示,

    对于第二类问题能在逻辑阶段得出它的递归公式,那么至少有这样几个好处:

    1.把逻辑阶段同实现阶段截然分开,大大简化程序设计.

    2.用数学方法推导递归公式,要比用其他方法设计算法要简单得多.

    3.由于公式是算法的最精确最简洁的描述形式,有了递归公式,编码工作就变得异常

    简单,而且程序的可读性也会很好.

    所谓递归程序设计的公式化方法,首先要把问题表示成数学意义下的递归函数,那么

    关键是确定函数值的意义,尽管问题本身未必需要计算什么函数值.函数值的选取可

    能不是唯一的,但是愈能表现问题本质愈好.

    Hanoi塔问题要求显示为把若干个盘子从一柱搬到另一柱要采取的动作,我们可以

    把动作的个数取为函数值.于是得到有四个自变量的递归函数h(d,f,t,u),其意义

    是以u柱(using)为缓冲把d个盘子(disks)从f柱(from)搬到t柱(to).容易得

    到下面的递归公式:

    h(1,f,t,u)=1

    h(d,f,t,u)= h(d-1,f,u,t)+ h(1,f,t,u)+ h(d-1,u,t,f),如果d>1

    其实际意义非常明显:搬动一个盘子只需一个动作;而把f柱上的d个盘子从f柱搬到t柱,

    需要先把上面的d-1个盘子从f柱搬到u柱,再把最下面的一个盘子从f柱搬到t柱,最后

    把已在u柱上的d-1盘子搬到t柱,因此总的动作个数等于三组动作之和.

    有了递归公式,编程就变得极为简单.程序的结构是一个多分支结构,恰好同递归

    公式一一对应,编程几乎变成了机械的翻译.在下面的程序中,递归函数与递归公式的

    差别只有当d为1时不仅要把动作个数v置为1,同时还要显示此动作.

    main()

    { int d,v,h(int,int,int,int);

    printf("disks = ");scanf("%d",&d);

    v=h(d,1,2,3);

    printf("n%d actions for %d disks!n",v,d);

    }

    int h(int d,int f,int t,int u)

    { int i,v;

    if(d==1){v=1;printf("%d->%d ",f,t);}

    else v=h(d-1,f,u,t)+h(1,f,t,u)+h(d-1,u,t,f);

    return v;

    }

    此程序的运行会话如下:

    disks = 3

    1->2 1->3 2->3 1->2 3->1 3->2 1->2

    7 actions for 3 disks!

    3 例子:八皇后问题

    八皇后问题[2]是一个更有代表性更复杂的递归例题,要求在8×8的国际象棋棋盘上摆

    放8个皇后,使她们不致互相攻击.我们采取的算法仍然是从棋盘第一行开始每行放一

    个皇后,对于每一行都从该行的第一列开始放置,并判断它同前面的那些皇后是否互相

    攻击,如是就换成下一列,否则继续放置下一个皇后,直至放好8个皇后.依照这种思想,

    我们定义一个有9个自变量的函数:

    q(k,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8)

    其中k表示已放置的皇后个数,而ai(此处i