已知函数f(x)=lnx−ax.

2个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)求导函数,对参数a进行讨论,即可确定函数f(x)的单调区间;

    (Ⅱ)先分离参数,构造函数,确定函数的最大值,即可求得m的取值范围.

    (Ⅰ)求导函数,可得f′(x)=

    1

    x+

    a

    x2=

    x+a

    x2(x>0)

    当a<0时,x∈(0,-a),f'(x)<0,f(x)单调递减,x∈(-a,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增.

    当a≥0时,x∈(0,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增.…(4分)

    (Ⅱ)2xlnx≤2mx2-1,得到[lnx/x+

    1

    2x2≤m

    令函数g(x)=

    lnx

    x+

    1

    2x2],求导数,可得g′(x)=

    1−lnx−

    1

    x

    x2

    a=-1时,f(x)=lnx+

    1

    x,x∈(0,1),f'(x)<0,f(x)单调递减,

    x∈(1,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增.

    ∴f(x)≥f(1)=1,即lnx+

    1

    x≥1,∴g′(x)=

    1−lnx−

    1

    x

    x2≤0

    ∴g(x)在x∈(0,+∞),g'(x)≤0,g(x)单调递减,

    ∴函数g(x)=

    lnx

    x+

    1

    2x2在[1,e]上的最大值为[1/2]

    ∴在[1,e]上,若[lnx/x+

    1

    2x2≤m恒成立,则m≥

    1

    2].…(12分)

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题.

    考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查恒成立问题,考查分离参数法的运用,解题的关键是确定函数的单调性,确定函数的最值.