解题思路:(Ⅰ)求导函数,对参数a进行讨论,即可确定函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)先分离参数,构造函数,确定函数的最大值,即可求得m的取值范围.
(Ⅰ)求导函数,可得f′(x)=
1
x+
a
x2=
x+a
x2(x>0)
当a<0时,x∈(0,-a),f'(x)<0,f(x)单调递减,x∈(-a,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增.
当a≥0时,x∈(0,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增.…(4分)
(Ⅱ)2xlnx≤2mx2-1,得到[lnx/x+
1
2x2≤m
令函数g(x)=
lnx
x+
1
2x2],求导数,可得g′(x)=
1−lnx−
1
x
x2
a=-1时,f(x)=lnx+
1
x,x∈(0,1),f'(x)<0,f(x)单调递减,
x∈(1,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增.
∴f(x)≥f(1)=1,即lnx+
1
x≥1,∴g′(x)=
1−lnx−
1
x
x2≤0
∴g(x)在x∈(0,+∞),g'(x)≤0,g(x)单调递减,
∴函数g(x)=
lnx
x+
1
2x2在[1,e]上的最大值为[1/2]
∴在[1,e]上,若[lnx/x+
1
2x2≤m恒成立,则m≥
1
2].…(12分)
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查恒成立问题,考查分离参数法的运用,解题的关键是确定函数的单调性,确定函数的最值.