Question

给出下列五个命题：其中正确的命题有______（填序号）．

Answer 1

①函数y=sinx（x∈[-π，π]）的图象与x轴围成的图形的面积=-

∫ 0-π sinxdx+

∫ π0 sinxdx = 2×cosx

| 0-π =4，而面积 S=

∫ π-π sinxdx =0，因此不正确；

②由组合数的性质可知：在n∈N ^*，r∈N的条件下所给的式子成立，因此正确；

③在（a+b） ⁿ的展开式中，分别令a=1，b=-1，则

C 0n +

C 2n + …=

C 1n +

C 3n + …，即奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，因此正确；

④根据i ⁴ⁿ=1，i ⁴ⁿ⁺¹=i，i ⁴ⁿ⁺²=-1，i ⁴ⁿ⁺³=-i，则i+i ²+i ³+…i ²⁰¹²=

i( i 2012 -1)

i-1 =

i(1-1)

i-1 =0，因此正确；

⑤用数学归纳法证明不等式

1

n+1 +

1

n+2 +

1

n+3 +…+

1

2n ＞

13

24 ，(n≥2，n∈ N * ) 的过程中，由假设n=k成立推到n=k+1成立，

只需证明

1

(k+1)+1 +

1

(k+1)+2 +…+

1

2(k+1) ＞

13

24 成立即可，因此⑤不正确．

综上可知：只有②③④正确．

故答案为②③④．