Question

已知xi＞0（i=1，2，3，…，n），我们知道有（x1+x2）（1x1+1x2）≥4成立．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用基本不等式，即可证明（x1+x2+x3）（1x1+1x2+1x3）≥9；（Ⅱ）猜测（x1+x2+…+xn）（1x1+1x2+…+1xn）≥n2（n≥2），再用数学归纳法证明．

证明：（Ⅰ）（x₁+x₂+x₃）（

1

x1+

1

x2+

1

x3）=3+（

x1

x2+

x2

x1）+（

x1

x3+

x3

x1）+（

x2

x3+

x3

x2）≥3+2+2+2=9，

∴（x₁+x₂+x₃）（

1

x1+

1

x2+

1

x3）≥9

（Ⅱ）猜测满足的不等式为（x₁+x₂+…+x_n）（

1

x1+

1

x2+…+

1

xn）≥n²（n≥2），

证明如下：

（1）当n=1时，x₁•

1

x1≥1，猜想成立；当n=2时，（x₁+x₂）（

1

x1+

1

x2）≥4，猜想成立；

（2）假设当n=k时，猜想成立，即（x₁+x₂+…+x_k）（

1

x1+

1

x2+…+

1

xk）≥k²，

那么n=k+1时，（x₁+x₂+…+x_k+1）（

1

x1+

1

x2+…+

1

xk+

1

xk+1）=（x₁+x₂+…+x_k）（

1

x1+

1

x2+…+

1

xk）+x_k+1（

1

x1+

1

x2+…+

1

xk）+（x₁+x₂+…+x_k）

1

xk+1+1≥k²+2k+1=（k+1）²

则当n=k+1时猜想也成立，

根据（1）（2）可得猜想对任意的n∈N，n≥1都成立．

点评：

本题考点： 数学归纳法；基本不等式．

考点点评： 本题以已知不等式为载体，考查类比推理，考查数学归纳法，关键是第二步，同时应注意利用归纳假设．