Question

怎么证明若an的极限为a则sin an的极限为sin a

Answer 1

对任意ε>0,由 an→a,存在 N,使当 n>N 时,有

|an-a| < ε,

此时,

|sin(an)-sina|

= 2|sin[(an-a)/2]cos[(an+a)/2]|

≤ 2|sin[(an-a)/2]|

≤ 2|(an-a)/2|

= |an-a| < ε,

得证.