解题思路：（1）由f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R），a=1，知
f
′
(x)＝
1
1+x
−1＝
−x
1+x
，由此能求出f（x）在定义域上的最大值．
（2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，等价于
a＞
ln(x+1)
x
恒成立，由此能够求出a的取值范围．
（3）要证
1
2
+1+1
1
2
+1
•
2
2
+2+1
2
2
+2
•
3
2
+3+1
3
2
+3
•…•
n
2
+n+1
n
2
+n
＜e
，只需证
ln(1+
1
1
2
+1
)+ln(1+
1
2
2
+2
)+…+ln(1+
1
n
2
+n
)＜1
，由此能够得到证明．
（1）∵f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R），a=1，
∴f′(x)＝
1
1+x−1＝
−x
1+x，
由f′(x)＝
−x
1+x＞0，得-1＜x＜0；由f′(x)＝
−x
1+x＜0，得x＞0；
所以y=f（x）在（-1，0）为增，在（0，+∞）为减，
所以x=0时，f（x）取最大值0．
（2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，
等价于a＞
ln(x+1)
x恒成立，
设g(x)＝
ln(x+1)
x⇒g′(x)＝
x
1+x−ln(x+1)
x2，
设h(x)＝
x
1+x−ln(x+1)⇒h′(x)＝
1
(1+x)2−
1
1+x＝
−x
(1+x)2＜0(x≥1)，
所以h（x）是减函数，所以h(x)≤h(1)＝
1
2−ln2＜0(4＞e⇒2＞e
1
2)，
所以g（x）是减函数，gmax（x）=g（1），所以a＞ln2
（3）要证
12+1+1
12+1•
22+2+1
22+2•
32+3+1
32+3•…•
n2+n+1
n2+n＜e，
只需证ln
12+1+1
12+1+ln
22+2+1
22+2+…+ln
n2+n+1
n2+2＜1
只需证ln(1+
1
12+1)+ln(1+
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；对数函数图象与性质的综合应用．
考点点评： 本题考查函数的最大值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．