已知圆C与y轴交于两点M(0,-2),N(0,2),且圆心C在直线2x-y-6=0上.

1个回答

  • 解题思路:(1)先由M,N的坐标确定圆心C的纵坐标为0,再根据圆心C在直线2x-y-6=0上,所以x=3,最后确定圆的半径,从而求出圆的方程;(2)先假设直线AB的方程为y=k(x-3),分别与l1,l2联立,利用中点坐标公式可求,同时注意斜率不存在情况的验证.

    (1)因为圆C与y轴交于两点M(0,-2),N(0,2),所以圆心C的纵坐标为0.

    又因为圆心C在直线2x-y-6=0上,所以x=3.所以圆心C(3,0),半径|MC|=

    32+22=

    13.

    所以圆C的方程为(x-3)2+y2=13.

    (2)由(1)知圆心C(3,0),设A点的纵坐标为y1,B点的纵坐标为y2

    直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-3),分别与l1,l2联立得

    y=k(x-3)

    2x-y-2=0.解得y1=

    4k

    k-2.

    y=k(x-3)

    x+y+3=0.解得y2=

    -6k

    k+1.由中点坐标公式,有

    1

    2(y1+y2)=0.即

    4k

    k-2+

    -6k

    k+1=0.所以k=8.

    故所求直线方程为y=8(x-3).即8x-y-24=0.

    当k不存在时,过点C(3,0)的直线方程为x=3与l1交点为(3,4),与l2交点为(3,-6),

    其中点(3,-1)与圆心C(3,0)不符,故x=3不是所求直线.

    点评:

    本题考点: 直线和圆的方程的应用.

    考点点评: 本题考查圆的标准方程的求解,关键是确定圆心的坐标和半径,(2)利用设而不求法,应注意分类讨论思想的应用