Question

如图，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=4，BC=3，CC 1 =2，求平面A 1 BC 1

Answer 1

∵BC ₁∥ AD ₁，AD ₁⊂平面ACD ₁

∴BC ₁∥ 平面ACD ₁，

同理A ₁B ∥ 平面ACD ₁，A ₁B∩BC ₁=B，

∴平面A ₁BC ₁∥ 平面ACD ₁

建立如图直角坐标系，

∵AB=4，BC=3，CC ₁=2，A ₁=（3，0，2），B（3，4，0），C ₁（0，4，2）

∴

A 1 B =(0，4，-2)，

BC 1 =(-3，0，2) ，

设

n (x，y，z) 为平面A ₁BC ₁的法向量，

则

n ⊥

A 1 B ⇒

n •

A 1 B =0 ⇒4y-2z=0，

n ⊥

BC 1 ⇒

n •

BC 1 =0 ⇒-3x+2z=0，

不妨设 z=1，

∴ y=

1

2 ，x=

2

3 ，

∴

n =(

2

3 ，

1

2 ，1)

设两平行平面间的距离为d

则d 等于D ₁到平面A ₁BC ₁的距离

∴ d=

|

n •

D 1 A 1 |

|

n | =

12

61

61 ．