Question

已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 2 •a 4 =a 6 ， 2 a 3 + 1 a 4 = 1 a 5 ．

Answer 1

（Ⅰ） 设等比数列{a _n}的首项为a ₁＞0，公比为q＞0，

∵a ₂•a ₄=a ₆，

2

a 3 +

1

a 4 =

1

a 5 ，

∴

a 1 q• a 1 q 3 = a 1 q 5

2

a 1 q 2 +

1

a 1 q 3 =

1

a 1 q 4 ，

解得 a 1 =q=

1

2 ，

∴ a n =

1

2 n ．

（Ⅱ）∵ a n =

1

2 n ，

∴ S n =

1

2 +

1

2 2 +…+

1

2 n =

1

2 ×(1-

1

2 n )

1-

1

2 = 1-

1

2 n ，

T n =

1

2 ×

1

2 2 ×…×

1

2 n = (

1

2 )

n(n+1)

2 ，

若存在正整数k，使得不等式 S n+k +

T n

4 ＜1 对任意的n∈N ^*都成立，

则 1-

1

2 n+k + (

1

2 )

n(n+1)

2 +2 ＜1，即 k＜

1

2 [(n-

1

2 ) 2 +

15

4 ] ，

∵只有当n=1时，

1

2 [(n-

1

2 ) 2 +

15

4 ] 取得最小值2，满足题意．

∴k＜2，正整数k只有取k=1．