Question

设方程x^2-3x+1=0的两根是α,β,求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).

Answer 1

∵方程x^2-3x+1=0的两根是α,β

∴α＋β＝3,α·β＝1

设满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).＝ax²＋bx＋﹙1－a－b﹚,则

aα²＋bα＋﹙1－a－b﹚＝β①

aβ²＋bβ＋﹙1－a－b﹚＝α②

①－②,得a﹙α²－β²﹚＋b﹙α－β﹚＝－﹙α－β﹚即3a＋b＝﹣1④

①＋②,得a﹙α²＋β²﹚＋b﹙α＋β﹚＋2﹙1－a－b﹚＝α＋β即5a＋b＝1⑤

联立④⑤并解得a＝1,b＝﹣4

∴f(x).＝x²－4x＋4