Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[0，4]时，f（x）=2|x-m|+n，且f（2）=6．

Answer 1

解题思路：（1）根据函数的周期性以及f（2）=6．建立方程即可求m，n的值；

（2）当x∈[0，4]时，根据指数函数的性质解关于x的方程f（x）-a•2^x=0即可求a的取值范围．

（1）由已知f（0）=f（4），

可得2^|m|+n=2^|4-m|+n，

∴|m|=|4-m|，

∴m=2

又由f（2）=6可知2^|2-2|+n=6，

∴n=5

（2）方程即为2^|x-2|+5=a×2^x在[0，4]有解．

当x∈[0，2]时，2^2-x+5=a•2^x，

则a=[4

(2x)2+

5

2x，

令(

1/2)x＝t∈[

1

4，1]

则a=4t²+5t在[

1

4，1]单增，

∴a∈[

3

2，9]，

当x∈（2，4]时，2^2-x+5=a•2^x，

则a=

1

4+

5

2x]，

令(

1

2)x＝t∈[

1

16，

1

4)

则a=[1/4+5t，

∴a∈[

9

16，

3

2)

综上：a∈[

9

16]，9]．

点评：

本题考点： 函数的周期性．

考点点评： 本题主要考查指数函数的图象和性质，利用条件求出m，n是解决本题的关键，本题综合性较强，运算量较大．