Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点P（1，[3/2]）

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由椭圆的焦距2c=1结合隐含条件得关于a，b的一个方程，再由椭圆过点P（1，[3/2]）得另一方程，联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；

（Ⅱ）（1）写出直线l的方程和椭圆方程联立后由弦长公式求得|MN|的长；

（2）设出直线l的方程x=my+1，和椭圆方程联立，得到当

S

△M

F

1

N

最大时，r也最大，△MF₁N的内切圆面积也最大，利用根与系数关系把△MF₁N的面积转化为含有m的代数式，换元后利用导数判断其单调性，由函数单调性求得最值并得到直线l的方程．

（Ⅰ）由已知，得a²-b²=c²=1，且[1

a2+

9/4

b2＝1，

解得：a²=4，b²=3．

故椭圆C的方程为

x2

4+

y2

3＝1；

（Ⅱ）（1）直线l的方程为y=x-1，

联立

y＝x−1

x2

4+

y2

3＝1]，消去x得，7x²-8x-8=0．

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则x1+x2＝

8

7，x1x2＝−

8

7．

∴|MN|=

1+1|x1−x2|＝

2×

(x1+x2)2−4x1x2

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．