解题思路：（1）电流表指针偏转，说明电路中有电流，电路的故障不是断路；
（2）电压表指针不动，可能，一是电压表与电源两极连接的部分电路中处出现了断路，二是电压表被与它并联的小灯泡短路．
A、灯L1的接线短路，同时电压表也会被短路没有示数，但电路仍然是通路，因此电流表有示数，符合题意，故该选项正确；
B、灯L2的接线短路，电路中其余部分仍然是通路，电流表有示数，电压表也有示数，测量的是灯L1的电压，也是电源电压，不符合题意，故该选项不正确；
C、灯L1的灯丝断了，电路处于断路，电流表没有示数，电压表通过电流表和灯L2可以连接到电源上，此时灯L2相当于导线的作用，电压表有示数，不符合题意，故该选项不正确；
D、灯L2的灯丝断了，整个电路断路，电流表和电压表都会没有示数，不符合题意，故该选项不正确．
故选A．
点评：
本题考点： 电流表、电压表在判断电路故障中的应用．
考点点评： 电压表和电流表判断电路故障的基本思路是：电压表无示数说明电压表所测量电路中，包含电源的部分电路断路或不包含电源部分短路，再由电路中有无电流来判断是断路还是短路．有电流，则电路为短路；无电流，则电路为断路．电压表有示数说明电压表所测量电路中，包含电源的部分电路短路或不包含电源部分断路，再由电路中有无电流来判断是断路还是短路．有电流，则电路为短路；无电流，则电路为断路．