解题思路:(1)将P点坐标代入抛物线的解析式中,即可证得所求的结论;
(2)将(1)所得的b、c的关系式代入bc中,即可得到关于bc与b的函数关系式,根据函数的性质即可得到bc的最大值;
(3)可根据韦达定理,用b表示出AB的长,进而根据△ABP的面积及P点的纵坐标求出AB的具体值,即可得出关于b的方程,从而求得b的值.
(1)证明:将点P(2,1)代y=x2+bx+c+1,
得:1=22+2b+c+1,
整理得:c=-2b-4;
(2) ∵c=-2b-4,
∴bc=b(-2b-4)=-2(b+1)2+2,
∴当b=-1时,bc有最大值2;
(3) 由题意得:[1/2AB×1=
3
4],
∴AB=|x2-x1|=[3/2],
即|x2-x1|2=[9/4],(6分)
亦即(x1+x2)2-4x1x2=
9
4,
由根与系数关系得:x1+x2=-b,x1•x2=c+1=-2b-4+1=-2b-3,
代入(x1+x2)2-4x1x2=
9
4,
得:(-b)2-4(-2b-3)=
9
4,
整理得:b2+8b+
39
4=0,
解得:b1=-[3/2],b2=-[13/2].
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 此题主要考查了二次函数图象上点的坐标意义、二次函数的最值、根与系数的关系等知识的综合应用能力.