Question

设函数f(x)=ax 3 +bx 2 -3a 2 x+1（a、b∈R）在x=x 1 ，x=x 2 处取得极值，且|x 1

Answer 1

，①

（Ⅰ）当a=1时，

，

由题意知

为方程

的两根，

所以

，

由

，得b=0，

从而f(x)=x ³-3x+1，

，

当

时，f′(x)＜0；当

时，f′(x)＞0，

故f(x)在（-1，1）单调递减，在

单调递增．

（Ⅱ）由①式及题意知

为方程

的两根，

所以

，

从而

，

由上式及题设知

，

考虑

，

故g（a）在

单调递增，在

单调递减，

从而g（a）在(0，1]的极大值为

，

又g（a）在(0，1]上只有一个极值，

所以

为g（a）在(0，1]上的最大值，且最小值为g（1）=0，

所以

，即b的取值范围为

。