Question

已知圆C的圆心坐标为（2，2），且和直线3x+4y-9=0相切．

Answer 1

解题思路：（1）根据直线和圆相切的关系求出圆的半径，即可求圆C的方程；

（2）将直线和圆联立，根据条件∠AOB=90°．进行消元转化为根与系数的关系即可得到结论．

（1）由于圆C与直线相切，故圆C的半径是r=

|3×2+4×2−9|

32+42＝

5

5＝1，

则圆C的方程为：（x-2）²+（y-2）²=1．

（2）由x-y+a=0得y=x+a，代入圆的方程，得：

（x-2）²+（x+a-2）²=1，

整理得：2x²+（2a-8）x+a²-4a+7=0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则x₁+x₂=4-a，x₁x₂=

a2−4a+7

2，

若∠AOB=90°成立，需

OA⊥

OB．

即

OA•

OB=x₁x₂+y₁y₂=0，

即x₁x₂+（x₁+a）（x₂+a）=2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=a²+7≠0，

∴x₁x₂+y₁y₂≠0，

所以不存在a的值，满足条件∠AOB=90°．

点评：

本题考点： 直线和圆的方程的应用．

考点点评： 本题主要考查圆的方程，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．