已知椭圆C 1 : x 2 4 + y 2 3 =1 ,抛物线C 2 :(y-m) 2 =2px(p>0),且C 1 、

1个回答

  • (Ⅰ)当AB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称,所以m=0,直线AB的方程为:

    x=1,从而点A的坐标为(1,

    3

    2 )或(1,-

    3

    2 ).

    因为点A在抛物线上.

    所以

    9

    4 =2p ,即 p=

    9

    8 .

    此时C 2的焦点坐标为(

    9

    16 ,0),该焦点不在直线AB上.

    (II)解法一:假设存在m、p的值使C 2的焦点恰在直线AB上,由(I)知直线AB

    的斜率存在,故可设直线AB的方程为y=k(x-1).

    y=k(x-1)

    x 2

    4 +

    y 2

    3 =1 消去y得(3+4k 2)x 2-8k 4x+4k 2-12=0①

    设A、B的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),

    则x 1,x 2是方程①的两根,x 1+x 2=

    8 k 4

    3+4 k 2 .

    (y-m ) 2 =2px

    y=k(x-1)

    消去y得(kx-k-m) 2=2px.②

    因为C 2的焦点 F′(

    p

    2 ,m) 在直线y=k(x-1)上,

    所以 m=k(

    p

    2 -1) ,即 m+k=

    kp

    2 .代入②有 (kx-

    kp

    2 ) 2 =2px .

    即 k 2 x 2 -p( k 2 +2)x+

    k 2 p 2

    4 =0 .=3 ③

    由于x 1,x 2也是方程=3 ③的两根,

    所以x 1+x 2=

    p( k 2 +2)

    k 2 .

    从而

    8 k 4

    3+4 k 2 =

    p( k 2 +2)

    k 2 .

    解得 p=

    8 k 4

    (4 k 2 +3)( k 2 +2) =4 ④

    又AB过C 1…C 2的焦点,

    所以 |AB|=( x 1 +

    p

    2 )+( x 2 +

    p

    2 )= x 1 + x 2 +p=(2-

    1

    2 x 1 )+(2-

    1

    2 x 2 ) ,

    则 p=4-

    3

    2 ( x 1 + x 2 )=4-

    12 k 2

    4 k 2 +3 =

    4 k 2 +12

    4 k 2 +3 .=5 ⑤

    由=4 ④、=5 ⑤式得

    8 k 4

    (4k 2 +3)( k 2 +2) =

    4 k 2 +12

    4 k 2 +3 ,即k 4-5k 2-6=0.

    解得k 2=6.于是 k=±

    6 ,p=

    4

    3 .

    因为C 2的焦点 F′(

    2

    3 ,m) 在直线 y=±

    6 (x-1) 上,

    所以 m=±

    6 (

    2

    3 -1) .

    ∴ m=

    6

    3 或 m=-

    6

    3 .

    由上知,满足条件的m、p存在,且 m=

    6

    3 或 m=-

    6

    3 , p=

    4

    3 .

    解法二:设A、B的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2y 2).

    因为AB既过C 1的右焦点F(1,0),又过C 2的焦点 F′(

    p

    2 ,m) ,

    所以 |AB|=( x 1 +

    p

    2 )+( x 2 +

    p

    2 )= x 1 + x 2 +p=(2-

    1

    2 x 1 )+(2-

    1

    2 x 2 ) .

    即 x 1 + x 2 =

    2

    3 (4-p) . ①

    由(Ⅰ)知x 1≠x 2,p≠2,于是直线AB的斜率 k=

    y 2 - y 1

    x 2 - x 1 =

    m-0

    p

    2 -1 =

    2m

    p-2 ,②

    且直线AB的方程是 y=

    2m

    p-2 (x-1) ,

    所以 y 1 + y 2 =

    2m

    p-2 ( x 1 + x 2 -2)=

    4m(1-p)

    3(p-2) .③

    又因为

    3

    x 21 +4

    y 21 =12

    3

    x 22 +4

    y 22 =12 ,

    所以 3( x 1 + x 2 )+4( y 1 + y 2 )•

    y 2 - y 1

    x 2 - x 1 =0 .④

    将①、②、③代入④得 m 2 =

    3(p-4) (p-2) 2

    16(1-p) .=5 ⑤

    因为

    ( y 1 -m ) 2 =2p x 1

    ( y 2 -m ) 2 =2p x 2 ,

    所以 y 1 + y 2 -2m=2p

    x 2 - x 1

    y 2 - y 1 .=6 ⑥

    将②、③代入=6 ⑥得 m 2 =

    3p (p-2) 2

    16-10p .=7 ⑦

    由=5 ⑤、=7 ⑦得

    3(p-4) (p-2) 2

    16(1-p) =

    3p (p-2) 2

    16-10p .

    即3p 2+20p-32=0

    解得 p=

    4

    3 或p=-8(舍去) .

    将 p=

    4

    3 代入=5 ⑤得 m 2 =

    2

    3 ,

    ∴ m=

    6

    3 或 m=-

    6

    3 .

    由上知,满足条件的m、p存在,

    且 m=

    6

    3 或 m=-

    6

    3 , p=

    4

    3

    1年前

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