解题思路：当物体所受的合力与物体的速度在同一条直线上，物体做直线运动，当物体所受的合力与物体的速度不在同一条直线上，物体做曲线运动．
A、当加速度恒定不变时，物体可能做直线运动，也可能做曲线运动，比如平抛运动．故A错误．
B、初速度为零的物体，物体不一定做直线运动，故B错误．
C、当初速度方向和加速度方向不在同一条直线上，物体一定做曲线运动．故C正确．
D、当加速度方向与初速度方向垂直时，不一定做圆周运动，比如平抛运动初速度方向与加速度方向垂直，故D错误．
故选：C．
点评：
本题考点： 加速度；速度．
考点点评： 解决本题的关键掌握物体做直线运动还是曲线运动的条件，关键看加速度方向与速度方向是否在同一条直线上．