已知函数f(x)=x3-ax2+3x.

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  • 解题思路:(Ⅰ) 由题意知f'(x)=3x2-2ax+3=0的一个根为x=3,可得a=5,再利用导数求其最小值和最大值

    (Ⅱ)f'(x)=3x2-2ax+3,要f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,则有3x2-2ax+3≥0在x∈[1,+∞)内恒成立,分离参数a,转化为即

    a≤

    3x

    2

    +

    3

    2x]在x∈[1,+∞)内恒成立

    (Ⅰ) 由题意知f'(x)=3x2-2ax+3=0的一个根为x=3,可得a=5,…(3分)

    所以f'(x)=3x2-10x+3=0的根为x=3或 x=

    1

    3(舍去),

    当1<x<3时,f'(x)<0,当3<x<5时,f'(x)>0,

    f(x)在x∈[1,3]上单调递减,在x∈[3,5]上单调递增

    又f(1)=-1,f(3)=-9,f(5)=15,

    ∴f(x)在x∈[1,5]上的最小值是f(3)=-9,最大值是f(5)=15.…(7分)

    (Ⅱ)f'(x)=3x2-2ax+3,要f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,则有3x2-2ax+3≥0在x∈[1,+∞)内恒成立,

    即a≤

    3x

    2+

    3

    2x在x∈[1,+∞)内恒成立

    又[3x/2+

    3

    2x≥3(当且仅当x=1时取等号),所以a≤3…(13分)

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查导数知识的运用,求函数的单调性,函数的最值,分离参数的方法解决恒成立问题.

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