(I)证明:
连接B 1C,与BC 1相交于O,连接OD
∵BCC 1B 1是矩形,∴O是B 1C的中点.又D是AC的中点,
∴OD//AB 1.∵AB 1
面BDC 1,OD
面BDC 1
∴AB 1//面BDC 1.
(II)如力,建立空间直角坐标系,则
C 1(0,0,0),B(0,3,2),C(0,3,0),A(2,3,0), D(1,3,0)
设
=(x 1,y 1,z 1)是面BDC 1的一个法向量,则
即
.…………6分
易知
=(0,3,0)是面ABC的一个法向量.
∴二面角C 1—BD—C的余弦值为
(III)假设侧棱AA 1上存在一点P(2,y,0)(0≤y≤3),使得CP⊥面BDC 1.
则
∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱AA 1上不存在点P,使CP⊥面BDC 1.
略