解题思路：（1）欲求f（x）的单调区间，只需求f'（x）＞0与f'（x）＜0的解集，本题需对a的正负进行分类讨论；
（2）设过P（1，-2）向y=f（x）作切线于切点（x0，y0），然后求出切线方程，将点P坐标代入得到关于x0的三次方程即2x03-3x02+a-2=0有两个不等的实根，令g（x）=2x3-3x2+a-2，然后利用导数研究极值，根据方程g（x）=0有三个实根，其中两个根是等根建立等式关系，解之即可．
（1）由f（x）=x3-ax求导数得到f'（x）=3x2-a．
（i）当a≤0时，f'（x）≥0，则f（x）在R上单增．
（ii）当a＞0时，f′(x)＝3(x−
a
3)(x+
a
3)．
则f(x)在[
a
3，+∞)和(−∞，−
a
3]上单调递增；
在[−
a
3，+
a
3]上单调递减．…（5分）
（2）设过P（1，-2）向y=f（x）作切线于切点（x0，y0），
则y-y0=（3x02-a）（x-x0），即y=（3x02-a）x-2x03
则y=（3x02-a）x-2x03过P（1，-2），
∴-2=3x02-a-2x03，即2x03-3x02+a-2=0．
由题意知关于x0的方程
2x03-3x02+a-2=0有两个不等的实根．
令g（x）=2x3-3x2+a-2，
则g'（x）=6x2-6x=6x（x-1）．
于是g（x）极小=g（1）=a-3，
g（x）极大=g（0）=a-2．
方程g（x）=0有三个实根，其中两个根是等根．
∴
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数极值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．