Question

设数列{a n }的各项均为正数，前n项和为S n ，已知 4 S n = a 2n +2 a n +1(n∈ N *

Answer 1

（1）∵ 4 S n =

a 2n +2 a n +1 ，

∴当n≥2时， 4 S n-1 =

a 2n-1 +2 a n-1 +1 ．

两式相减得 4 a n =

a 2n -

a 2n-1 +2 a n -2 a n-1 ，

∴（a _n+a _n-1）（a _n-a _n-1-2）=0

∵a _n＞0，∴a _n-a _n-1=2，

又 4 S 1 =

a 21 +2 a 1 +1 ，∴a ₁=1

∴{a _n}是以a ₁=1为首项，d=2为公差的等差数列．

∴a _n=a ₁+（n-1）d=2n-1；

（2）由（1）知 S n =

(1+2n-1)n

2 = n 2 ，

假设正整数k满足条件，

则（k ²） ²=[2（k+2048）-1] ²

∴k ²=2（k+2048）-1，

解得k=65；

（3）证明：由 S n = n 2 得： S m = m 2 ， S k = k 2 ， S p = p 2

于是

1

S m +

1

S p -

2

S k =

1

m 2 +

1

p 2 -

2

k 2 =

k 2 ( p 2 + m 2 )-2 m 2 p 2

m 2 p 2 k 2

∵m、k、p∈N ^*，m+p=2k，

∴

k 2 ( p 2 + m 2 )-2 m 2 p 2

m 2 p 2 k 2

=

(

m+p

2 ) 2 ( p 2 + m 2 )-2 m 2 p 2

m 2 p 2 k 2 ≥

mp×2pm-2 m 2 p 2

m 2 p 2 k 2 =0 ．

∴

1

S m +

1

S p ≥

2

S k ．