Question

有矩阵A、B,为什么 (A+B)(A-B)=A平方-B平方的充要条件是AB=BA

Answer 1

首先(A+B)(A-B)=(A+B)A-(A+B)B=A²+BA-AB-B²

证明AB=BA => (A+B)(A-B)=A²-B²

∵ AB=BA,∴BA-AB=0（零矩阵）

于是 A²+BA-AB-B²=A²-B²

即(A+B)(A-B)=A²-B²

证明(A+B)(A-B)=A²-B² => AB=BA

由∵(A+B)(A-B)=A²+BA-AB-B²=A²-B²

∴ BA-AB=0 于是 BA=AB

综上述(A+B)(A-B)=A²-B²的充要条件是AB=BA