解题思路：（1）对参数a进行讨论，利用奇偶函数的定义，即可得出结论；
（2）将函数g（x）=f（x）+2x+1写成分段函数的形式，分别确定各段的单调性，即可建立不等式组，从而可求实数a的取值范围．
（1）当a=0时，f（x）=x|x|，定义域为R，
又f（-x）=（-x）|-x|=-x|x|=-f（x），∴f（x）是奇函数．…（3分）
当a≠0时，f（a）=0，f（-a）=-a|a|，∵f（-a）≠±f（a），
∴f（x）是非奇非偶函数．…（6分）
∴当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．…（7分）
（2）g(x)＝x|x−a|+2x+1＝
x2+(2−a)x+1，x≥a
−x2+(2+a)x+1，x
∴y=x2+（2-a）x+1在[a，+∞）上是增函数，且y=-x2+（2+a）x+1在（-∞，a]上是增函数，…（10分）
∴
−
2−a
2≤a
2+a
2≥a，…（14分）
∴-2≤a≤2．…（15分）
点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断．
考点点评： 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查分类讨论的数学思想，考查分段函数的单调性，解题的关键是合理化去绝对值符号．