已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x - 知识问答

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．

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（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，
由已知得
a-c=1
a+c=7 ，解得a=4，c=3，
所以椭圆C的方程为
x 2
16 +
y 2
7 =1．
（2）设M（x，y），其中x∈[-4，4]．
由已知
|OP | 2
|OM | 2 =λ²及点P在椭圆C上，可得
9 x 2 +112
16( x 2 + y 2 ) =λ²，
整理得（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，其中x∈[-4，4]．
①λ=
3
4 时，化简得9y²=112．
所以点M的轨迹方程为y=±
4
7
3 （-4≤x≤4），轨迹是两条平行于x轴的线段．
②λ≠
3
4 时，方程变形为
x 2
112
16 λ 2 -9 +
y 2
112
16 λ 2 =1，
其中x∈[-4，4]；
当0＜λ＜
3
4 时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分；
当
3
4 ＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．

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