Question

已知a1=1/2,且Sn=n^2an(n∈N^*)(1)、求前n项和Sn和通项公式an并不用数学归纳法证明之.

Answer 1

（1）

S2 = 2^2 * a2 = a1 + a2 = 1/2 + a2

a2 = 1/6

S3 = 3^2 * a3 = a1 + a2 + a3 = 1/2 + 1/6 + a3

a3 = 1/12

S4 = 4^2 * a4 = a1 + a2 + a3 + a4 = 1/2 + 1/6 + 1/12 + a4

a4 = 1/20

(2)

猜测{an}的通项公式是an = 1/[n(n+1)]

证：

当n = 2时,有

S2 = 2^2 * a2 = a1 + a2 = 1/2 + a2

a2 = 1/6 = 1/[2*(2+1)]

假设当n = N时,有aN = 1/[N(N+1)],SN = N^2 * aN = N/(N+1),则

当n = N+1时,有

SN+1 = (N+1)^2 * aN+1 = a1 + a2 + …… + aN + aN+1 = N/(N+1) + aN+1

aN+1 = [N/(N+1)]/[(N+1)^2 - 1] = 1/[(N+1)(N+2)]

所以

当n = N+1,公式成立

老了不死；所以,对任意N,都有aN+1 = 1/[(N+1)(N+2)],该命题成立.

证明完毕.