证明 因为a∧b是a,b的最大下界,a∨c是a,c的最小上界,故得
a∧b≤a ,a≤a∨c,再由关系≤的传递性得a∧b≤a∨c
因为c∧d是c,d的最大下界,a∨c是a,c的最小上界,故得
c∧d≤c ,c≤a∨c,再由关系≤的传递性得c∧d≤a∨c
由a∧b≤a∨c,c∧d≤a∨c可知a∨c是a∧b,c∧d的上界,而（a∧b）∨（c∧d）是a∧b,c∧d的最小上界,故得（a∧b）∨（c∧d）≤a∨c.
同理可证（a∧b）∨（c∧d）≤b∨d.
即（a∧b）∨（c∧d）是a∨c,b∨d的下界,而（a∨c）∧（b∨d）是a∨c,b∨d的最大下界,故得（a∧b）∨（c∧d）≤（a∨c）∧（b∨d）