解题思路：（1）由题意抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（14，0）和C（0，-8），对称轴为x=4，根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式；（2）假设存在，设出时间t，则根据线段PQ被直线CD垂直平分，再由垂直平分线的性质及勾股定理来求解t，看t是否存在；（3）假设直线x=1上是存在点M，使△MPQ为等腰三角形，此时要分两种情况讨论：①当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点；②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点；然后再根据等腰三角形的性质及直角三角形的勾股定理求出M点坐标．
（1）∵抛物线过C（0，-8），
∴c=-8，即y=ax2+bx-8，
由函数经过点（14，0）及对称轴为x=4可得
−
b
2a＝4
196a+14b−8＝0，
解得：
a＝
2
21
b＝−
16
21，
∴该抛物线的解析式为y=[2/21]x2-[16/21]x-8．
（2）
存在直线CD垂直平分PQ．
由函数解析式为y=[2/21]x2-[16/21]x-8，可求出点A坐标为（-6，0），
在Rt△AOC中，AC=
AO2+OC2=
100=10=AD，
故可得OD=AD-OA=4，点D在函数的对称轴上，
∵线CD垂直平分PQ，
∴∠PDC=∠QDC，PD=DQ，
由AD=AC可得，∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC，
又∵DB=AB-AD=20-10=10=AD，
∴点D是AB中点，
∴DQ为△ABC的中位线，
∴DQ=[1/2]AC=5，
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分．
在Rt△BOC中，BC=
OC2+OB2=
82+142=2
65，
而DQ为△ABC的中位线，Q是BC中点，
∴CQ=
65，
∴点Q的运动速度为每秒
65
5单位长度；
（3）存在，过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=[1/2]OC=4，PH=OP+OH=1+7=8，
在Rt△PQH中，PQ=
42+82=
80=4
5，
①当MP=MQ，即M为顶点，则此时CD与PQ的交点即是M点（上面已经证明CD垂直平分PQ），
设直线CD的直线方程为：y=kx+b（k≠0），
因为点C（0，-8），点D（4，0），
所以可得直线CD的解析式为：y=2x-8，
当x=1时，y=-6，
∴M1（1，-6）；
②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点．
设直线x=1上存在点M（1，y），因为点P坐标为（-1，0），
从而可得PM2=22+y2，
又PQ2=80，
则22+y2=80，
即y=±
76，
∴M2（1，2
19），M3（1，-2
19）；
③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点，点Q坐标为（7，-4），
设直线x=1存在点M（1，y），
则QM2=62+（y+4）2=80，
解得：y=2
11-4或-2
11-4；
∴M4（1，-4+2
11），M5（1，-4-2
11）；
综上所述：存在这样的五点：
M1（1，-6），M2（1，2
19），M3（1，-2
19）M4（1，-4+2
11），M5（1，-4-2
11）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题是一道综合题，难度较大，主要考查二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，还考查等腰三角形的性质，同时还让学生探究存在性问题，对待问题要思考全面，学会分类讨论的思想．