解题思路:(1)当k=1时,联立抛物线与直线的解析式,解方程求得点A、B的坐标;
(2)如答图2,作辅助线,求出△ABP面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标;
(3)“存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°”的含义是,以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,由圆周角定理可知,此时∠OQC=90°且点Q为唯一.以此为基础,构造相似三角形,利用比例式列出方程,求得k的值.需要另外注意一点是考虑直线AB是否与双曲线交于C点,此时亦存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°.
(1)当k=1时,抛物线解析式为y=x2-1,直线解析式为y=x+1.
联立两个解析式,得:x2-1=x+1,
解得:x=-1或x=2,
当x=-1时,y=x+1=0;当x=2时,y=x+1=3,
∴A(-1,0),B(2,3).
(2)设P(x,x2-1).
如答图2所示,过点P作PF∥y轴,交直线AB于点F,则F(x,x+1).
∴PF=yF-yP=(x+1)-(x2-1)=-x2+x+2.
S△ABP=S△PFA+S△PFB=[1/2]PF(xF-xA)+[1/2]PF(xB-xF)=[1/2]PF(xB-xA)=[3/2]PF
∴S△ABP=[3/2](-x2+x+2)=-[3/2](x-[1/2])2+[27/8]
当x=[1/2]时,yP=x2-1=-[3/4].
∴△ABP面积最大值为[27/8],此时点P坐标为([1/2],-[3/4]).
(3)设直线AB:y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F,
则E(-[1/k],0),F(0,1),OE=[1/k],OF=1.
在Rt△EOF中,由勾股定理得:EF=
(
1
k)2+1=
1+k2
k.
令y=x2+(k-1)x-k=0,即(x+k)(x-1)=0,解得:x=-k或x=1.
∴C(-k,0),OC=k.
Ⅰ、假设存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,如答图3所示,
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,根据圆周角定理,此时∠OQC=90°.
设点N为OC中点,连接NQ,则NQ⊥EF,NQ=CN=ON=[k/2].
∴EN=OE-ON=[1/k]-
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 本题是二次函数压轴题,综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点,有一定的难度.第(2)问中,注意图形面积的计算方法;第(3)问中,解题关键是理解“存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°”的含义.