(2014•南宁)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+(k-1)x-k与直线y=kx+1交于A,B两点,点A在点B的左侧

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  • 解题思路:(1)当k=1时,联立抛物线与直线的解析式,解方程求得点A、B的坐标;

    (2)如答图2,作辅助线,求出△ABP面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标;

    (3)“存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°”的含义是,以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,由圆周角定理可知,此时∠OQC=90°且点Q为唯一.以此为基础,构造相似三角形,利用比例式列出方程,求得k的值.需要另外注意一点是考虑直线AB是否与双曲线交于C点,此时亦存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°.

    (1)当k=1时,抛物线解析式为y=x2-1,直线解析式为y=x+1.

    联立两个解析式,得:x2-1=x+1,

    解得:x=-1或x=2,

    当x=-1时,y=x+1=0;当x=2时,y=x+1=3,

    ∴A(-1,0),B(2,3).

    (2)设P(x,x2-1).

    如答图2所示,过点P作PF∥y轴,交直线AB于点F,则F(x,x+1).

    ∴PF=yF-yP=(x+1)-(x2-1)=-x2+x+2.

    S△ABP=S△PFA+S△PFB=[1/2]PF(xF-xA)+[1/2]PF(xB-xF)=[1/2]PF(xB-xA)=[3/2]PF

    ∴S△ABP=[3/2](-x2+x+2)=-[3/2](x-[1/2])2+[27/8]

    当x=[1/2]时,yP=x2-1=-[3/4].

    ∴△ABP面积最大值为[27/8],此时点P坐标为([1/2],-[3/4]).

    (3)设直线AB:y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F,

    则E(-[1/k],0),F(0,1),OE=[1/k],OF=1.

    在Rt△EOF中,由勾股定理得:EF=

    (

    1

    k)2+1=

    1+k2

    k.

    令y=x2+(k-1)x-k=0,即(x+k)(x-1)=0,解得:x=-k或x=1.

    ∴C(-k,0),OC=k.

    Ⅰ、假设存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,如答图3所示,

    则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,根据圆周角定理,此时∠OQC=90°.

    设点N为OC中点,连接NQ,则NQ⊥EF,NQ=CN=ON=[k/2].

    ∴EN=OE-ON=[1/k]-

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题是二次函数压轴题,综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点,有一定的难度.第(2)问中,注意图形面积的计算方法;第(3)问中,解题关键是理解“存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°”的含义.