Question

已知直角三角形ABC中,角ACB=90°,AC=6,BC=8,若半径为r的两个等圆o1、o2外切,且圆O1与AC,AB相

Answer 1

解 答 （I）∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,

∴AB= AC2+BC2=10．

如图1,设⊙O₁与Rt△ABC的边AB,BC,CA分别切于点D,E,F．

连接O₁D,O₁E,O₁F,AO₁,BO₁,CO₁．

于是O₁D⊥AB,O₁E⊥BC,O₁F⊥AC．

S△AO1C=12AC•O1F=12AC•r1=3r1,S△BO1C=12BC•O1E=12BC•r1=4r1,S△AO1B=12AB•O1D=12AB•r1=5r1,S△ABC=12AC•BC=24．

又∵S△ABC=S△AO1C+S△BO1C+S△AO1B,

∴24=3r₁+4r₁+5r₁,

∴r₁=2．

（II）如图2,连接AO₁,BO₂,CO₁,CO₂,O₁O₂,则

S△AO1C=12AC•r2=3r2,S△BO2C=12BC•r2=4r2．

∵等圆⊙O₁,⊙O₂外切,

∴O₁O₂=2r₂,且O₁O₂∥AB．

过点C作CM⊥AB于点M,交O₁O₂于点N,则

CM=AC•BCAB=245,CN=CM-r2=245-r2．

∴S△CO1O2=12O1O2•CN=(245-r2)r2,

∴S梯形AO1O2B=12(2r2+10)r2=(r2+5)r2．

∵S△ABC=S△AO1C+S△BO2C+S△CO1O2+S梯形AO1O2B,

∴3r₂+4r₂+（ 245-r₂）•r₂+（r₂+5）r₂=24,

解得r₂= 107．

（III）如图3,连接AO₁,BO_n,CO₁,CO_n,O₁O_n,则

S△AO1C=12AC•rn=3rn,S△BOnC=12BC•rn=4rn．

∵等圆⊙O₁,⊙O₂,…,⊙O_n依次外切,且均与AB边相切,

∴O₁,O₂,…,O_n均在直线O₁O_n上,且O₁O_n∥AB,

∴O₁O_n=（n-2）2r_n+2r_n=2（n-1）r_n．

过点C作CH⊥AB于点H,交O₁O_n于点K,

则CH=245,CK=245-rn．

S△CO1On=12O1On•CK=(n-1)(245-rn)rn,S梯形AO1OnB=12[2(n-1)rn+10]rn=[(n-1)rn+5]rn．

∵S△ABC=S△AO1C+S△BOnC+S△CO1On+S梯形AO1OnB,

∴24=3rn+4rn+(n-1)(245-rn)rn+[(n-1)rn+5]rn．

解得rn=102n+3